Ley de los Grandes Números

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precísamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces.

Una demostración teórica del teorema es laboriosa, por lo que no tiene sentido exponerla en esta página. Si alguien está interesado en una demostración tanto de este teorema cómo del Teorema Central del Límite puede mirar en :

Introduction to probability

que es un libro de introducción a la probabilidad, disponible en línea, de forma totalmente gratuita. El único inconveniente es que está en inglés.

Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera intuitiva a los resultados que establece el teorema.

El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.

Si la mesa, tiene 1 metro de longitud, el resultado del experimento, puede tomar cualquier valor comprendido entre cero y uno.

Sabemos que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.

Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable.

La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.

El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.

Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.

Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.

Este es el resultado que demuestra el teorema conocido cómo : Ley de los Grandes Números

Para realizar la simulación del experimento sólo tenemos que escribir el número de veces que queremos golpear la bola, por defecto 10, y hacer click en el botón de "Ejecutar".

Simulación del experimento

Teorema Central del Límite

Es el segundo teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

El Teorema Central del Límite establece lo que pasa cuando tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Por ejemplo si en el experimento anterior en lugar de considerar una bola, consideramos 10 bolas y el experimento consiste en calcular la media de las distancias a la que se detiene cada una de las bolas.

Como hemos visto , la distribución de probabilidades cuando el experimento se realiza sobre una bola es uniforme ; las probabilidades son las mismas para cada resultado. Si en lugar de una bola consideramos varias y en lugar de las distancias individuales consideramos la media, aparecen otras distribuciones.

Si aumentamos el número de bolas con que realizamos el experimento por encima de 30. La distribución de las medias es muy aproximadamente una Distribución Normal.

Este es el resultado que establece el Teorema Central del Límite.

Para realizar la simulación que se propone a continuación, sólo tenemos que poner el número de bolas con el que queremos realizar el experimento (para calcular la media), entre 10 y 50, y el número de veces que queremos repetir el experimento, entre 10 y 1000. Despues hacer click en el botón: Ejecutar.

En la simulación debemos observar cómo a medida que aumenta el número de bolas la distribución de probabilidades tiende a una Distribución Normal y como a medida que aumentamos el número de veces que repetimos el experimento, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

Para Ver Ejemplos Bajar la Página: www.itch.mx/academic/industrial/estadistica1