calculodeprobabilidadeslg

Resolver los siguientes ejercicios

1Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

2En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

3En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

4La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

1. Entre 60 kg y 65 kg.

2.Más de 90 kg.

3.Menos de 64 kg.

4.64 kg.

5.64 kg o menos.

5Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

 

Ley de los Grandes Números

Se considera el primer teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

Básicamente el teorema establece que la frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tienden a estabilizarse en cierto número, que es precísamente la probabilidad , cuando el experimento se realiza muchas veces.

Una demostración teórica del teorema es laboriosa, por lo que no tiene sentido exponerla en esta página. Si alguien está interesado en una demostración tanto de este teorema cómo del Teorema Central del Límite puede mirar en :

Introduction to probability

que es un libro de introducción a la probabilidad, disponible en línea, de forma totalmente gratuita. El único inconveniente es que está en inglés.

Aquí nos conformaremos con simular un experimento aleatorio, que nos aproxime de una manera intuitiva a los resultados que establece el teorema.

El experimento que vamos a simular es el de dar un golpe a una bola de billar situada en la mesa de juego, en el sentido que indica la flecha, y medir la distancia desde el extremo izquierdo de la mesa al punto en el que la bola se detiene.

Si la mesa, tiene 1 metro de longitud, el resultado del experimento, puede tomar cualquier valor comprendido entre cero y uno.

Sabemos que el espacio muestral que resulta de este experimento es un espacio muestral continuo. Para simplificar la simulación, podemos considerar la longitud de la mesa de billar, dividida en 10 partes iguales.

Consideraremos que el resultado del experimento es que la bola se detenga en alguna de las 10 partes. En este caso los posibles resultados son 10 y como todos los resultados tienen la misma posibilidad, estamos ante un espacio de probabilidad discreto y equiprobable.

La simulación consiste en que el ordenador genere aleatoriamente un número comprendido entre 0 y 1, que representará la distancia a la que se detiene la bola de billar. La probabilidad de que este número caiga en el primer intervalo es 1/10, lo mismo en cada uno de los intervalos restantes.

El experimento va a consistir en repetir 10 veces el golpe a la bola.

Sobre un sistema de referencia, colocamos, sobre el eje XX, los 10 intervalos en que hemos dividido la longitud de la mesa de billar, y sobre el eje YY las frecuencias relativas de cada uno de estos intervalos, veremos cómo las frecuencias relativas, varían de una ejecución del experimento a otra.

Pero si aumentamos el número de veces que golpeamos la bola a 20, 30 y así sucesivamente, observaremos que las frecuencias relativas de cada intervalo tienden a estabilizarse en torno a 0,1, que es la probabilidad que asignamos a que la bola se detenga en uno de los intervalos.

Este es el resultado que demuestra el teorema conocido cómo : Ley de los Grandes Números

Para realizar la simulación del experimento sólo tenemos que escribir el número de veces que queremos golpear la bola, por defecto 10, y hacer click en el botón de "Ejecutar".

Simulación del experimento

Teorema Central del Límite

Es el segundo teorema fundamental de la teoría de la probabilidad.

El Teorema Central del Límite establece lo que pasa cuando tenemos la suma de un gran número de variables aleatorias independientes.

Por ejemplo si en el experimento anterior en lugar de considerar una bola, consideramos 10 bolas y el experimento consiste en calcular la media de las distancias a la que se detiene cada una de las bolas.

Como hemos visto , la distribución de probabilidades cuando el experimento se realiza sobre una bola es uniforme ; las probabilidades son las mismas para cada resultado. Si en lugar de una bola consideramos varias y en lugar de las distancias individuales consideramos la media, aparecen otras distribuciones.

Si aumentamos el número de bolas con que realizamos el experimento por encima de 30. La distribución de las medias es muy aproximadamente una Distribución Normal.

Este es el resultado que establece el Teorema Central del Límite.

Para realizar la simulación que se propone a continuación, sólo tenemos que poner el número de bolas con el que queremos realizar el experimento (para calcular la media), entre 10 y 50, y el número de veces que queremos repetir el experimento, entre 10 y 1000. Despues hacer click en el botón: Ejecutar.

En la simulación debemos observar cómo a medida que aumenta el número de bolas la distribución de probabilidades tiende a una Distribución Normal y como a medida que aumentamos el número de veces que repetimos el experimento, las frecuencias relativas tienden a estabilizarse.

Para Ver Ejemplos Bajar la Página: www.itch.mx/academic/industrial/estadistica1

 

Introducción Estadística: En el lenguaje común  es conocida como un conjunto de datos. Se refiere a un conjunto de métodos para manejar la obtención, presentación y el análisis de observaciones numéricas. Sus fines son: Describir al conjunto de datos obtenidos y tomar decisiones, o bien, realizar generalizaciones acerca de las características de todas las posibles observaciones bajo consideración. La Estadística es una de las ramas de la matemática con más aplicaciones ya que casi en cualquier rama del conocimiento humano tiene aplicación. Se considera como su fundador a Godofredo Achenwall, profesor alemán (1719-1772), él y sus seguidores estructuraron métodos estadísticos para estudiar las riquezas de las naciones.

Conceptos de Población y Muestra

Población: Es el conjunto de todos los elementos que cumplen ciertas propiedades y entre los cuales se desea estudiar un determinado fenómeno (pueden ser hogares, número de tornillos producidos por una fábrica en un año, lanzamientos de una moneda, etc. ). Llamamos población estadística o universo al conjunto de referencia sobre el cual van a recaer las observaciones.

Muestra: es el subconjunto de la población que es estudiado y a partir de la cual se sacan conclusiones sobre las características de la población. La muestra debe ser representativa, en el sentido de que las conclusiones obtenidas deben servir para el total de la población.
Las muestras pueden ser probabilísticas o no probabilísticas. Una muestra probabilística se elige mediante reglas matemáticas, por lo que la probabilidad de selección de cada unidad es conocida de antemano. Por el contrario, una muestra no probabilística no ser rige por las reglas matemáticas de la probabilidad. De ahí que, mientras en las muestras probabilísticas es posible calcular el tamaño del error muestral, no es factible hacerlo en el caso de las muestras no probabilísticas. Ejemplos de éstas últimas son la muestra accesible (que está conformada por personas de fácil acceso para el investigador como ser colegas o alumnos de su clase.) y la muestra voluntaria (donde los sujetos de la muestra no han sido seleccionados matemáticamente)
La modalidad más elemental de muestra probabilística es la muestra aleatoria simple, en la que todos los componentes o unidades de la población tienen la misma oportunidad de ser seleccionados.
Otro procedimiento similar de muestreo aleatorio es el llamado muestreo aleatorio sistemático en el cual se escoge uno de cada x componentes del listado de la población. El investigador selecciona al azar un punto de partida y un intervalo muestral. Así si el punto de partida fuera el 11 y el intervalo el 6 se elegirían el 11, 16, 21,16 hasta completar la lista.
Siempre que se desee adecuar la representación de diferentes subconjuntos hay que recurrir a una muestra estratificada. Las características de las submuestras (estratos o segmentos) pueden contemplar casi cualquier tipo de variables: edad, sexo, religión, niel de ingresos, etc. Los estratos pueden así definirse mediante un número prácticamente ilimitado de características. Puede ser un muestreo estratificado proporcional o no proporcional.

Individuo: cada uno de los elementos de la muestra o de la población (personas, tornillos, hospitales, comercios) y sobre los que recaerá la observación.

Variable: cada uno de los rasgos o característica de los elementos de una población y que varían de un individuo a otro (salario, color de ojos, sexo, número de hijos).
Las variables pueden corresponder a cuatro niveles de medición:
1) Nominal: hace referencia a datos que sólo pueden clasificarse en categorías; existen sólo conteos; no existe orden particular para los grupos. Ejemplo: color de ojos.
2) Ordinal: corresponde a aquellos datos que se pueden agrupar en categorías y "ordenarlas" según algún tipo de gradación. Ejemplo; nivel de dolor, nivel de preferencia.
3) de Intervalo: incluye todas las características de la escala ordinal, pero además la distancia entre valores es constante pues los valores que toma este tipo de variables corresponde al orden de los números naturales. Ejemplo: número de hijos,
4) de Razón: tiene las características de la escala de intervalo, pero se agrega un punto cero absoluto tal que significa ausencia del atributo y la razón o cociente de dos números es significativo pudiéndose aplicarles todo tipo de instrumental matemático. Ejemplo: ingreso familiar.

 

Tipos de Variables

Las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas. Generalmente se utiliza el término "modalidad" cuando hablamos de caracteres cualitativos y el término "valor" cuando estudiamos caracteres cuantitativos. Una variable no es sino el conjunto de las distintas modalidades o valores que toma un carácter.
Variables cualitativas (o categóricas): aquellas que no aparecen en forma numérica, sino como categorías o atributos (sexo, profesión, color de ojos). Las variables cualitativas sólo pueden ser nominales u ordinales.
Variables cuantitativas: las que pueden expresarse numéricamente (temperatura, salario, número de goles en un partido). Se pueden cuantificar los resultados experimentales por medio de instrumentos adoptando unidades de medida para valorar los diferentes resultados. Variables cuantitativas según el tipo de valores que pueda tomar pueden ser discretas o continuas. Variables discretas: son el resultado de contar y sólo toman valores enteros (número de hijos); Variables continuas: son el resultado de medir, y pueden contener decimales (temperatura, peso, altura). Se pueden subdividir a voluntad. Pueden tomar, entonces, cualquier valor de un determinado intervalo.

 

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

 

   Un ensayo Bernoulli es un experimento aleatorio que sólo admite dos posibles resultados, denotados éxito y fracaso. La probabilidad de éxito se denota p.

Por lo tanto si denotamos el éxito por 1 y el fracaso por 0 se tiene:

P(1)= p  P(0)=1-p=q

Además se cumple:  E(X)= p   V(X)=pq

 

   Un proceso Bernoulli es un proceso en el cual se verifican las siguientes condiciones:

 

El experimento aleatorio se repite n veces en idénticas condiciones

 

Hay sólo dos posibles resultados en cada repetición del experimento, llamados arbitrariamente éxito y fracaso

 

La probabilidad de éxito, denotada p, es la misma para cada repetición (permanece constante entre repeticiones)

 

las n repeticiones del experimento aleatorio son independientes entre sí

 

   Consideremos ahora la variable aleatoria X: # éxitos observados en n repeticiones. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de observar x éxitos en n repeticiones; esto es, se desea determinar P(X = x). Como lo importante es observar x éxitos en n repeticiones, el orden de ocurrencia de los mismos es irrelevante; así, para contar de cuántas formas pueden observarse x éxitos en n repeticiones empleamos las combinaciones . Por otro lado, como las n repeticiones del experimento son independientes entre sí y calcular P(X = x) equivale a calcular la probabilidad de una intersección de eventos (en las que cada evento corresponde a un éxito o a un fracaso), tenemos que la probabilidad de un punto muestral cualquiera asociado al experimento es ; en definitiva:

P(X = x) =

 

   Dado que  y , resulta que P(X = x) =  determina una distribución de probabilidades denominada distribución binomial.

 

 

 

 En resumen, se dice que la variable aleatoria X tiene distribución binomial si su función distribución de probabilidad está dada por

 =

 

   Se puede demostrar que para una variable aleatoria con distribución binomial

 

 = n.p

 

 = n.p.q

 

 

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA:

 

Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica  si se toma una muestra sin reemplazo de un conjunto de N elementos, de los cuales k son considerados de una categoría en especial (aciertos) y los otros N-k son considerados de otra categoría (fallas) y se desea obtener x aciertos de una muestra de n elementos ó ensayos. Se expresa de la siguiente formula:

 

 

 

Esto también se puede extender para más de dos grupos.

Ejemplo:

Si existe tres grupos el primero con k₁ elementos, el segundo grupo k₂ y el tercero con k₃  Si queremos hallar la probabilidad de escoger x elementos del primer grupo, y elementos del segundo grupo y z elementos del tercer grupo sin reemplazo; la probabilidad es la siguiente:

 

 

 

 

 

Ejemplos:

.- En una urna hay 8 esferas rojas y 6 esferas blancas si se escoge una muestra de 5 esferas de las cuales 3 son rojas cual es la probabilidad que eso ocurra.

 

.- Cual es la media y varianza del problema anterior.

 

.- Un producto industrial particular se embarca en lotes de 20. Un proyecto de muestreo elaborado consiste tomar una muestra de cinco artículos de cada lote y  el rechazo del lote se realizara si se encuentra más  de un artículo defectuoso. Si un lote contiene cuatro defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que se rechace el lote?

 

.- En una urna hay 8 esferas blancas, 6 esferas rojas y 4 esferas azules. ¿Cuál es la probabilidad de escoger sin reemplazo 3 blancas 4 rojas y 2 azules?

 

 

 

 

 

DISTRIBUCIÓN POISSON

 

   Los experimentos que dan valores numéricos de una variable aleatoria X que ocurre durante un intervalo de tiempo dado o en una región específica se denominan experimentos Poisson. El intervalo puede ser de cualquier longitud: un minuto, un día, una semana, un mes o incluso un año; y la región específica podría ser: un segmento de línea, un área o quizás una pieza de material. Un experimento Poisson se deriva de un proceso Binomial, el cual verifica las siguientes propiedades:

 

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región es independiente del número de resultados que ocurren en otro intervalo o región. (Esto determina una característica que se conoce como falta de memoria)

 

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo muy corto o una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera de este intervalo o región.

 

la probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante.

 

   La variable aleatoria X: # de resultados que ocurren durante un experimento Poisson se denomina variable aleatoria Poisson y su distribución de probabilidades, dada por  se denomina distribución Poisson; donde l es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región. Para una variable aleatoria con distribución Poisson se tiene  =  = l.

 

EL TEMA COMPLETOS ESTÁ EN EL ARCHIVO ADJUNTO. REVISAR PARA HACER EJERCICIOS

 

 

1. En una fábrica de conservas se reciben las latas en lotes de 200 unidades y

la probabilidad de que una de ellas presente una tara es de 0,004. Si el

control de calidad que se realiza al proveedor dicta que sólo son admisibles

los lotes sin unidades defectuosas ¿qué porcentaje de lotes se rechazarín?

(Sol. 55%)

 

 

2. De cada doce perforaciones petrolíferas que realiza una empresa sólo una es

rentable. La empresa dispone capital para hacer 80 perforaciones y necesita

encontrar 4 pozos rentables para no quebrar ¿Cuál es la probabilidad de

agotar el presupuesto ? (Sol. 0,0051)

 

3. Un técnico de mantenimiento de una empresa repara una media de 3

máquinas al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en el día de hoy tenga que

reparar al menos dos? ¿Y de que en los últimos 3 días haya reparado más

de 10? (Sol. 0,80; 0,41)

 

4. Se va a proceder a la siembra de una nueva variedad de semilla. De cada

100 que se plantan una no fructifica. De un lote de 400 semillas se extraen

100 ¿cuál es la probabilidad de que haya como mucho 2 semillas que no

fructifiquen? ¿y de que haya exactamente dos? (Sol. 0,92; 0,18)

 

5. Se sabe que una máquina envasadora rompe un elemento cada 1250 que

envasa y el comprador de estos elementos rechaza un lote si el lote que

consta de 5000 piezas contiene más de 10 elementos rotos. ¿Qué

porcentaje de lotes se rechazan? Deduce con fórmulas cuántos elementos se

tendrían que inspeccionar en media para encontrar los 10 defectuosos (Sol.

0,28%; 12500)

RESOLVER LOS EJERCICIOS Y REVISAR LA PAGINA: www.iddeo.es

 

 

PROBLEMAS DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

 

•1)     Un equipo electrónico contiene 6 transistores dos de los cuales son defectuosos. Se seleccionan tres transistores al azar, se sacan del equipo y se inspeccionan. Sea X el número de defectuosos observados.

Encuentre la distribución de probabilidad de X y su función acumulativa.

Resp:     para x = 0, 1, 2

•2)     Con el objeto de verificar la exactitud de su contabilidad la compañía utilizan auditores regularmente para verificar las anotaciones en sus cuentas. Supongamos que los empleados de la compañía hacen anotaciones erróneas el 5% de las veces. Si un auditor revisa al azar tres anotaciones.

•a)     Encuentre la distribución de probabilidad del número de errores detectados por el auditor

•b)     Encuentre la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.

 

•3)     Un llavero contiene cuatro llaves de una oficina, que son idénticas en apariencia. Sólo una abre la puerta de la oficina. Supongamos que se selecciona una al azar y se prueba. Si no es la llave adecuada se selecciona al azar una de las tres llaves restantes. Si esta última no es la llave que corresponda, se selecciona al azar una de las dos restantes. Sea X igual al número de llaves que se tienen que probar hasta encontrar la llave que abre la puerta. Encuentre la distribución de probabilidad de X, ¿cuál es la media?

 

•4)     Una caja contiene 10 bombillas, tres de las cuales están fundidas. Se extraen bombillas sucesivamente y se prueban, sin devolución, hasta que aparezca la última defectuosa. Sea X el número de bombillas probadas hasta que aparece la tercera defectuosa.

•a)     Hallar la función de probabilidad de esta variable aleatoria discreta

•b)     Hallar P(x=6)

•c)     Hallar P(x³5)

Resp:     para x = 3, 4, 5,...., 10

•5)     Al examinar pozos de agua en un distrito con respecto a dos impurezas encontradas en el agua, se encontró el 20% de los pozos no revelaban impureza alguna, el 40% tenían la impureza A, y el 50% la impureza B, Si se escoge un pozo del distrito al azar, encuentre la distribución de probabilidad para X, esto es, el número de impureza encontrado en el pozo.

 

•6)     Una nueva técnica quirúrgica tiene una probabilidad p de éxito. Suponga que la operación se efectúa cinco veces y que los resultados son independientes.

•a)     ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco operaciones sean un éxito,

si p =0.8?

•b)     ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro operaciones sean éxitos, si p = 0,6?

•c)     ¿Cuál es la probabilidad que menos de dos operaciones sean éxitos, si p = 0,3?

 

•7)      Se estima que el 60% de una población de consumidores prefiere una marca particular de pasta de dientes A, ¿Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de consumidores, de que se tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar el primer consumidor que prefiere la marca A? ¿Al menos cinco personas?

 

•8)     En un almacén se tiene 10 impresoras, de las cuales 4 están defectuosas. Una compañía selecciona 5 impresoras al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 no son defectuosas? ¿cuál es la probabilidad de que 3 son defectuosas?

 

•9)     En un almacén particular los clientes llegan al mostrador de la caja, en promedio de 7 por hora. En una hora dada, ¿cuál es la probabilidad de que:

•a)     no lleguen más de 3 clientes?

•b)     Lleguen al menos 2 clientes?

•c)     Lleguen exactamente 5 clientes?

 

•10) El número de nudos en un tipo particular de madera tiene una distribución de poisson con una media de 1,5 nudos por 10 pies³ de madera. Encuentre la probabilidad de que un bloque de madera de 10 pies³ tenga a lo más un nudo.

 

•11) Un dado perfecto se lanza una sola vez. Sea X el número que aparece en la cara superior. Encuentre el valor esperado y la varianza de X.

 

•12) En un juego una persona recibe $15 cuando saca una jota o una reina y recibe $5 si saca un rey ó un as de una baraja de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta tiene que pagar $4. ¿Cuál es la ganancia esperada para una persona que entra en el juego?

 

 

 

Concepto de variable aleatoria Se llama variable aleatoria (v.a.) a toda aplicación que asocia a cada elemento del espacio muestral ( ) de un experimento, un número real. x; S---- R  Ejemplo 1: Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: ={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX} Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, estamos asociando a cada suceso un número, así: X(CCC)=3                 X(CCX)=2                 X(XXC)=1                 X(XXX)=0 Ejemplo 2: Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado dos veces. El espacio muestral será: ={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) } Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como la suma de las puntuaciones, entonces X((1,1))=2                  X((3,4))=7                  X((2,6))=8                  X((5,6))=11 Las variables aleatorias las podemos clasificar en discretas, si pueda tomar un número finito o infinito numerable de valores o continuas si dado un intervalo (a,b) la variable puede tomar todos los valores comprendidos entre a y b.

Función de probabilidad

Dada una v.a. discreta X llamaremos función de probabilidad a aquella que asocia una probabilidad a cada valor de la v.a.

               P[ X = x_i ]

Así si la v.a. X toma los valores x₁,...,x_i,...,x_n la función de probabilidad asociada a cada x_i una probabilida p_i, verificándose siempre que p_i = 1
Determinación de una función de probabilidad
Consideremos el experimento que consiste en lanzar tres monedas al aire. Llamaremos C a Cara y X a Cruz, el espacio muestral será: = {CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

Definimos la variable aleatoria (v.a.) X como el número de caras, pueden salir 0, 1, 2 o 3 caras.
De los ocho posibles resultados, en sólo uno de ellos no se obtiene ninguna cara, por tanto se tiene P[ X = 0 ]= 1/8. Razonando análogamente, en tres casos hay una cara P[ X = 1 ]= 3/8, en tres casos hay dos caras P[ X = 2 ]= 3/8 y en uno sólo hay tres caras P[ X = 3 ]= 1/8.

Resumido:
                                             

 

http://s3.amazonaws.com/lcp/calculodeprobabilidadeslg/myfiles/EJERCICIOS-DE-CALCULO-DE-PROBABILIDADES4.docx 

EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

 

• 1. 1. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar un dado.
• 2. 2. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien 4, o bien 11 al lanzar dos dados.
• 3. 3. Se escriben a azar las cinco vocales. ¿Cuál es la probabilidad de que la "e" aparezca la primera y la "o" la última.
• 4. 4. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene 15 bolas blancas y 12 negras, sin reintegrar la bola extraída?
• 5. 5. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color?
• 6. 6. Una urna contiene 12 bolas blancas y 8 negras. ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída?
• 7. 7. De una baraja española de 40 cartas ¿Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando l primera carta? ¿Y sin reintegrarla?
• 8. 8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando 4 pruebas.
• 9. 9. Se sacan dos cartas de una baraja de 40 ¿Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? ¿Y sin reintegrar?
• 10. 10. Una urna contiene 8 bolas blancas, 5 negras y 2 rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber:

 

• a) a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas.
• b) b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.

 

• 11. 11. Se extraen 3 cartas de una baraja de 40:

 

• a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas.
• b) b) ¿Y de que sean un as, un dos y un tres?
• c) c) ¿Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?

 

• 12. 12. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras?
• 13. 13. Al lanzar dos veces un dado ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres?
• 14. 14. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:

 

• a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4?
• b) b) ¿Y de que sea múltiplo de 3?

 

• 15. 15. Una caja contiene 8 bolas rojas, 4 azules y 6 verdes. Se extraen 3 bolas al azar y se desea saber:

 

• a) a) La probabilidad de que las tres sean rojas.
• b) b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde.
• c) c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color.
• d) d) La probabilidad de que todas sean de distinto color.
• e) e) La probabilidad de que todas sean del mismo color.

 

• 16. 16. Se lanza un dado 6 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga algún 1 en los 6 lanzamientos?
• 17. 17. Una caja contiene 2 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Otra contiene 3 blancas, 5 negras y 4 rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. ¿Qué probabilidad hay de que sean del mismo color?
• 18. 18. En una urna hay 50 bolas, aparentemente iguales, numeradas del 1 al 50. ¿Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 50 bolas en el orden natural?
• 19. 19. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,2. La probabilidad de acertar en dos disparos será p₁=0,04; p₂=0,36; p₃=0,12. Determinar qué respuesta el la correcta.
• 20. 20. ¿Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 30 %?
• 21. 21. Se considera el experimento aleatorio "lanzar dos veces un dado". ¿Cuál es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? ¿Son dependientes o independientes estos sucesos? ¿Por qué?
• 22. 22. A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 50 francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber:

 

• a) a) ¿Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete?
• b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés?
• c) c) ¿Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma?
• d) d) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?

 

• 23. 23. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 10 negras y 6 blancas. Tres niños sacan, sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas?
• 24. 24. Se lanza un dado "n" veces ¿Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los "n" lanzamientos?
• 25. 25. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide:

 

• a) a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces.
• b) b) La probabilidad de obtener dos caras.

 

• 26. 26. Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es 1/7. ¿Cuál es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos?
• 27. 27. La probabilidad de que un hombre viva más de 25 años es de 3/5, la de una mujer es de 2/3. Se pide:
• a) a) La probabilidad de que ambos vivan más de 25 años.
• b) b) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años el hombre.
• c) c) La probabilidad de que sólo viva más de 25 años la mujer.
• d) d) La probabilidad de que viva más de 25 años, al menos, uno de los dos.

 

• 28. 28. Si de una baraja de 40 cartas se eligen 4 al azar, determinar:

 

• a) a) La probabilidad de elegir dos reyes.
• b) b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo.
• c) c) La probabilidad de que todos los números sean menores de siete.

 

• 29. 29. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos:

 

A= "obtener cruz en el primer lanzamiento".

B= "obtener alguna cara".

C= "obtener dos cruces".

 

Se desea saber:

 

• a) a) Si A y B son incompatibles.
• b) b) Si A y B son independientes.
• c) c) Si A y C son incompatibles.
• d) d) Si A y C son independientes

 

• 30. 30. De las 100 personas que asisten a un congreso 40 hablan francés, 40 inglés, 51 castellano, 11 francés e inglés, 12 francés y castellano y 13 inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber:

 

• a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés?
• b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen castellano?
• c) c) ¿Cuál es la probabilidad de que sen entiendan sólo en castellano?
• d) d) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma?
• e) e) ¿Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?

 

• 31. 31. Un dado está "cargado" de modo que al lanzarlo, la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. Hallar la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número par.
• 32. 32. En una encuesta realizada entre 24 alumnos resulta que 18 fuman ducados, 12 celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:

 

• a) a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres fumen?
• b) b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados.

 

• 33. 33. Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron 25 defectuosas y se eligen 5 de aquéllas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?
• 34. 34. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay 3 bolas blancas y 4 negras; en la segunda hay 5 negras y en la tercera hay 2 blancas y 3 negras. Se desea saber:

 

• a) a) Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra.
• b) b) Se ha extraído una bola negra de una de las urnas. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la 2ª urna?

 

• 35. 35. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 50 % de enfermos de bronquitis, un 30 % de neumonía y un 20 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis.
• 36. 36. Hay una epidemia de cólera. Un síntoma muy importante es la diarrea, pero ese síntoma también se presenta en personas con intoxicación, y, aún, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo cólera, intoxicación y no teniendo nada serio es de 0,99; 0,5 y 0,004 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el 2% de la población tiene cólera, el 0,5 % intoxicación y el resto (97,5 %), nada serio. Se desea saber:

 

• a) a) Elegido un individuo de la población ¿Qué probabilidad hay de que tenga diarrea?
• b) b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea ¿Cuál es la probabilidad de tenga cólera?

 

• 37. 37. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A₁ es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A₂ es 0,3. Se sabe que la fábrica A₁ produce un 4 por mil de artículos defectuosos y la A₂ un 8 por mil.

 

• a) a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A₂?
• b) b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso?
• c) c) Se piden 5 artículos a la fábrica A₁ ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso?

 

• 38. 38. En una población animal hay epidemia. El 10 % de los machos y el 18 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide:

 

• a) a) Elegido al azar un individuo de esa población ¿Cuál es la probabilidad de que esté enfermo?
• b) b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo ¿Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho?

 

• 39. 39. En una clase mixta hay 30 alumnas, 15 estudiantes que repiten curso, de los que 10 son alumnos, y hay 15 alumnos que no repiten curso. Se pide:

 

• a) a) ¿Cuántos estudiantes hay en la clase?
• b) b) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumno?
• c) c) Elegido al azar un estudiante ¿Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso?
• d) d) Elegidos al azar dos estudiantes ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso?

 

• 40. 40. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0,5 y la de que apruebe las dos es 0,2. Hallar:

 

• a) a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas.
• b) b) La probabilidad de que no apruebe ninguna.
• c) c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua.

Soluciones

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES

 

• 1. 1. El espacio muestral es:

 

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

 

donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida será:

 

 

• 2. 2. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:

 

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

 

Y la probabilidad pedida es:

 

 

• 3. 3. Al escribir al azar las 5 vocales tenemos P₅= 5! = 120 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y la o la última, tenemos las otras 3 vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos favorables son P₃= 3!=6.

 

La probabilidad pedida es:

 

 

• 4. 4. Las 12 bolas negras pueden tomar de 2 en 2 de maneras distintas (casos favorables). Mientras que las 27 bolas totales pueden tomarse de 2 en 2 de maneras distintas (casos posibles). La probabilidad pedida es, pues:

 

 

 

• 5. 5. Sean los sucesos:

 

A= "Sacar las dos bolas blancas"

B= "Sacar las dos bolas negras"

C="sacar las dos bolas del mismo color"

 

Según la composición de la urna se tiene que:

 

 

Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles), se tiene que:

 

 

• 6. 6. Sean los sucesos:

 

A= "ser negra la primera bola"

B= "ser negra la segunda bola".

 

Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo sea la 2ª (ya que la 1ª se devuelve a la urna de nuevo), se tiene:

 

 

• 7. 7. Llamamos:

 

A= "sacar un caballo"

B= "sacar un tres"

 

Si reintegramos la primera carta, los sucesos son independientes y se tiene:

 

Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene:

Llamando:

 

C= "sacar un caballo la 1ª carta"

D= "sacar un 3 la 2ª carta"

 

 

• 8. 8. Sean los sucesos:

 

A= "realizarse el suceso efectuando 4 pruebas"

A₁= "realizarse el suceso en la 1ª prueba"

A₂= "realizarse el suceso en la 2ª prueba"

A₃= "realizarse el suceso en la 3ª prueba"

A₄= "realizarse el suceso en la 4ª prueba"

 

Se tiene que:

 

 

Además se cumple que

 

siendo los cuatro sucesos últimos independientes entre sí, por tanto se tendrá para el suceso complementario de A:

 

Y para el suceso A:

 

 

• 9. 9. (Este problema se diferencia del nº 7 en que allí había que sacar primero el caballo y luego el 3, ahora hay que sacar caballo y 3 no importa en que orden).

 

Llamando a los sucesos:

 

A= "sirve la 1ª carta" (es caballo o tres)

B= "sirve la 2ª carta" (es caballo o tres)

 

Reintegrando:

 

 

Sin reintegrar:

 

 

• 10. 10. Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de 15 elementos tomados de 3 en 3, es decir

 

• a) a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de 3, es decir:

 

 

siendo la probabilidad pedida:

 

 

• b) b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las 5 bolas negras de uno en uno, es decir:

 

 

y la probabilidad es:

 

 

 

• 11. 11. a) Como el ejercicio está planteado sin devolución de las cartas extraídas previamente, se tendrá que, llamando A₁, A₂ y A₃ respectivamente a los sucesos ser sota la primera, la segunda y la tercera, tenemos que:

 

ya que tras haber extraído la primera sota, sólo quedan tres y, tras haber extraído las dos primeras sólo quedan 2.

 

b) Llamemos:

 

A= "sirve la 1ª carta" (es un as un dos o un tres)

B= "sirve la 2ª carta

C= "sirve la 3ª carta.

 

Se tiene:

 

 

ya que para la 1ª teníamos 12 casos favorables (4 ases, 4 doses y 4 treses) y 40 posibles. Para la segunda, si la primera ha servido, sólo quedan 8 casos favorables y 39 posibles. Para la 3ª, si las dos primeras han servido, sólo quedan 4 casos favorables y 38 posibles. Tenemos pues para la probabilidad pedida:

 

 

c) En este caso sean:

 

A= "sacar un rey en la 1ª"

B= "sacar un cinco en la 2ª"

C= "sacar un siete en la 3ª"

 

Será:

 

 

• 12. 12. Sean los sucesos:

 

A= "sacar una bola negra de la 1ª urna"

B= "sacar una bola negra de la 2ª urna"

Se tiene que: 

y, dado que los dos sucesos son independientes:

 

 

• 13. 13. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos es divisible por 3)

 

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

 

               La probabilidad pedida es, pues:

 

              

 

 

14.

• a) a) Sea A es suceso "señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 4"

 

necesariamente ha de acabar en 12, 24, 32, 52.

 

De todos ellos terminan en 12 los que resulten de tomar las 3 cifras restantes (3, 4 y 5) de una en una influyendo el orden y sin repetición, esto es son V₃¹. El mismo razonamiento es válido para las otras tres posibles terminaciones, es decir, los casos favorables son 4V₃¹, mientras que los casos posibles son V₅³, entonces tenemos que:

 

• b) b) Sea B es suceso "señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de 3". Necesariamente uno de estos números ha de estar formado por los números de cualquiera de los 4 conjuntos siguientes:

 

{1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4} y {3, 4, 5}

 

ya que son los únicos la suma de cuyas cifras es múltiplo de 3. Pero los números de cada uno de los conjuntos anteriores se pueden poner en cualquier orden, es decir, de cada uno de esos conjuntos obtenemos P₃ elementos. Los casos favorables serán pues 4P₃ y los casos posibles son los mismos que en apartado a), luego tenemos:

 

 

15.

• a) a) Sea A="extraer las tres bolas rojas", se tiene:

 

 

• b) b) Sea B="extraer dos bolas rojas y una verde":

 

 

 

• c) c) Sea C="extraer dos azules y una no azul":

 

 

• d) d) Sea D="extraer todas de distinto color":

 

 

• e) e) Sean los sucesos:

 

R= "extraer las tres rojas"

A= "extraer las tres azules"

V= "extraer las tres verdes".

 

Se tiene que:

 

Y por ser los sucesos R, A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es:

 

 

16. Sea el suceso A="sacar algún 1 en 6 lanzamientos" y sean A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, los sucesos "sacar un 1 en el primero (segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto) lanzamientos". Se tiene que:

 

 

Y como el suceso complementario de A (no sacar ningún 1 en los seis lanzamientos) es la intersección de estos seis últimos y éstos son independientes, se tiene:

 

 

17. Sean los sucesos:

 

A= "sacar las dos bolas blancas"

B= "sacar las dos bolas negras"

C= "sacar las dos bolas rojas"

 

Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son:

 

Siendo la probabilidad pedida:

 

 

18. Sea el suceso A= "sacar las 50 bolas en el orden 1, 2, 3, .....50". El número de casos posibles son todas las permutaciones de 50 y solamente una de ellas constituye el caso favorable luego:

 

 

19. Sean los sucesos:

 

A= "acertar en dos disparos"

A₁= "acertar el primer disparo"

A₂= "acertar el segundo disparo"

 

Se tiene que:

 

Y siendo estos dos últimos sucesos independientes se tiene:

 

 

20. Sean los sucesos:

 

A= "Acertar en alguno de los tres lanzamientos"

A₁= "acertar en el primer lanzamiento"

A₂= "acertar en el segundo lanzamiento"

A₃= "Acertar en el tercer lanzamiento".

 

Se tiene que:

 

y siendo estos tres últimos sucesos independientes se cumple que:

 

 

siendo entonces la probabilidad pedida:

 

 

21. Sean los sucesos:

 

A= "sacar impar en el primer lanzamiento"

B= "sacar par en el segundo lanzamiento"

 

La tabla del espacio muestral es (en ella se han señalado los casos favorables al suceso intersección de A y B):

 

1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
2,1	2,2	2,3	2,4	2,5	2,6
3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6
4,1	4,2	4,3	4,4	4,5	4,6
5,1	5,2	5,3	5,4	5,5	5,6
6,1	6,2	6,3	6,4	6,5	6,6

 

Se tiene que:

 

Que es la probabilidad pedida. Como además:

 

Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes.

 

22. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

 

donde hemos llamado "x" al número de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francés e inglés:

 

 

 

habiéndose de cumplir que:

 

(70-X)+X+(50-X)=80

 

Y de ahí, resolviendo la ecuación obtenemos  que   

 

X=40

 

Es decir, 40 de los congresistas hablan tanto francés como inglés. 30 hablan sólo inglés y 10 hablan sólo francés.

 

 

 

• a) a) Sea ahora el suceso A= "los dos congresistas se entienden sin intérprete".

 

Se tiene que:

 

entonces:

 

• b) b) Sea ahora el suceso:

 

B= "los dos congresistas se entienden sólo en francés" (ello supone que sólo hablan francés o que pueden hablar ambos idiomas):

 

tenemos que:

 

 

• c) c) Sean ahora los sucesos:

C= "los dos congresistas se entienden en un solo idioma"

C₁= "Se entienden sólo en inglés".

C₂= "Se entienden sólo en francés".

Se tiene que:

 

Como el suceso C₂ coincide con el suceso b) del apartado b) su probabilidad ya ha sido calculada allí. Entonces se tiene para el suceso C:

 

• d) d) Sea ahora el suceso:

 

D= "los dos congresistas se entienden en los dos idiomas".

 

Se tiene que:

 

 

23. Sean los sucesos:

 

A= "el primer niño saca las dos rojas".

B= "el segundo niño saca las dos negras habiendo sacado el 1º las dos rojas".

C= "el tercer niño saca las dos blancas habiendo sacado el 1º las dos rojas y el segundo las dos negras".

D= "el primer niño saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas"

 

Se tiene:

 

 

Ya que los sucesos A, B y C de esta forma definidos son independientes y D es la intersección de los tres.

 

24. Sea el suceso:

 

A= "sacar al menos un 6 en los n lanzamientos"

A_i= "sacar un seis en el i-ésimo lanzamiento" (donde i varía entre 1 y n)

 

Se tiene que:

 

entonces:

 

siendo estos n sucesos independientes. Se tiene pues que:

 

 

25. El espacio muestral tiene RV₂⁴=2⁴=16 elementos que son:

 

CCCC	+CCC	+CC+	+C++
CCC+	CC++	C++C	++C+
CC+C	C+C+	++CC	+++C
C+CC	+C+C	C+++	++++

 

• a) a) Sea A= "obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0, 1, 2 ó 3)"

 

 

• b) b) Sea B= "obtener exactamente dos caras":

 

 

26. Sea el suceso A= "alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos"

A_i="alcanzar el objetivo en el disparo i-ésimo" (i varía de 1 a 7)

 

Se tiene:

 

 

siendo estos 7 sucesos independientes, por lo tanto:

 

 

27. Sean los sucesos:

 

a)

A= "el hombre vive más de 25 años".

B= "la mujer vive más de 25 años".

C= "ambos viven más de 25 años".

 

Se tiene que:

 

 

b)  D= "sólo el hombre vive más de 25 años".

 

• c) c) E= "sólo la mujer vive más de 25 años":

 

• d) d) F= "que viva más de 25 años al menos uno de los dos"

 

 

28.

• a) a) Sea A= "sacar 4 cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes"

 

• b) b) Sea B= "sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no".

 

Para un palo cualquiera dado, la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre 4 cartas es:

 

Y la probabilidad pedida es:

• c) c) Sea C= "sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean menores que 7"

 

 

 

29.

• a) a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repetición de 2 elementos tomados 3 a 3, esto es RV₂³=2³=8. Estos son:

 

CCC	C++
CC+	+C+
C+C	++C
+CC	+++

 

El suceso A está formado por los sucesos elementales:

 

A= {(+CC), (+C+), (++C), (+++)}

 

El B por:

 

B= {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C)}

 

Y el C por:

 

C= {(C++), (+C+), (++C)}

 

Como , A y B no son incompatibles.

 

• b) b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(B/A)=p(B), en caso de ser falsa la igualdad anterior no serán independientes. Veamos:

 

Luego A y B no son independientes.

 

• c) c) Como , A y C no son incompatibles.
• d) d) Calculemos:

y siendo distintos ambos resultados, los sucesos A y C no son independientes.

 

30. Observemos el siguiente diagrama de Venn:

donde los números salen de:

 

Llamando x a los que hablan las tres lenguas, tenemos que:

 

40 hablan inglés.

40 hablan francés

51 hablan castellano

11 hablan francés e inglés

12 hablan francés y castellano

13 hablan inglés y castellano

 

11-x hablan sólo francés e inglés

13-x hablan sólo inglés y castellano

12-x hablan sólo francés y castellano

 

40-(11-x)-x-(13-x)=16+x hablan sólo inglés

40-(11-x)-x-(12-x)=17+x hablan sólo francés

51-(12-x)-x-(13-x)=26+x hablan sólo castellano

 

Se ha de verificar, pues la siguiente ecuación:

 

hablan sólo inglés+hablan sólo francés+hablan sólo castellano+hablan sólo inglés y castellano+hablan sólo francés e inglés+ hablan sólo francés y castellano+ hablan los tres idiomas = 100

 

16+x+17+x+26+x+13-x+11-x+12-x+x=100

 

y de ahí se obtiene que hablan los tres idiomas:

 

x=5

11-x=6 hablan sólo francés e inglés

13-x=8 hablan sólo inglés y castellano

12-x=7 hablan sólo francés y castellano

16+x=21 hablan sólo inglés

17+x=22 hablan sólo francés

26+x=31 hablan sólo castellano

 

• a) a) A= "ninguno habla francés". Hay 21+8+31=60 que no hablan francés, luego

 

 

b) B= "los dos hablan castellano". Como hay 51 en esas condiciones:

 

      

• c) c) C= "los dos se entienden sólo en castellano". Hay 31 que sólo hablan castellano; 39 (31+8) que hablan castellano e inglés pero no francés; 38 (31+7) que hablan castellano y francés pero no inglés; 36 (31+5) que hablan castellano sólo o los tres idiomas, por tanto:

 

 

• d) d) D= "los dos hablan un solo idioma". Hay 74 (21+22+31) que hablan un solo idioma, luego:

 

 

• e) e) E= "hablan los tres idiomas". Hay sólo 5 que lo hacen, por tanto:

 

 

31. El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado número en el dado sea proporcional a dicho número significa que (siendo i un número comprendido entre 1 y 6 ambos inclusive), se tiene:

 

p(i)=ki

 

como la probabilidad de que salga cualquier número del dado es 1 (suceso seguro), se tendrá que:

 

p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)+p(6)=1

 

k+2k+3k+4k+5k+6k=1

 

21k=1

 

k=1/21

 

entonces, llamando A sal suceso "sacar un número par", este suceso es la unión de los tres sucesos incompatibles "sacar 2", "sacar 4" ó "sacar 6", es decir:

 

 

32. Observemos el siguiente diagrama:

 

donde x representa al número de alumnos que no fuman ni celtas ni ducados.

 

Como hay 24 alumnos en total, se tiene que:

 

10+8+4+x=24

 

Y de ahí:

 

x= 24-10-8-4=2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• a) a) A= "los tres alumnos fuman":

 

 

• b) b) B= "2 de los tres fuman ducados". Ha de haber 2 de los 18 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman celtas, es decir:

 

 

33. Sea el suceso A= "entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa", la probabilidad del suceso contrario (que no haya ninguna defectuosa) es:

 

Y la probabilidad de A es:

 

 

34.Sean los sucesos:

 

A= "extraer bola negra"

A₁= "extraer una bola de la primera urna"

A₂= "extraer una bola de la segunda urna".

A₃= "extraer una bola de la tercera urna".

 

Por el enunciado sabemos que:

 

• a) a) Aplicando el Teorema de la probabilidad total tenemos:

 

p(A)=p(A/A₁)p(A₁)+p(A/A₂)p(A₂)+p(A/A₃)p(A₃)

 

que en nuestro caso da como resultado:

 

• b) b) Por el Teorema de Bayes nos queda:

 

35. Sean los sucesos:

 

A= "el enfermo se cura"

A₁= "el enfermo ingresa con bronquitis".

A₂= "el enfermo ingresa con neumonía"

A₃= "el enfermo ingresa con gripe"

 

Sabemos del enunciado que:

 

p(A₁)= 0,5             p(A₂)= 0,3             p(A₃)= 0,2

 

p(A/A₁)= 0,7         p(A/A₂)= 0,8         p(A/A₃)= 0,9

 

Aplicando el Teorema de Bayes:

 

 

36. Sean los sucesos:

 

A= "tienen diarrea"

A₁= "tienen cólera"

A₂= "tienen intoxicación"

A₂= "no tienen nada serio"

 

Sabemos que:

 

p(A₁)= 0,02           p(A₂)= 0,005         p(A₃)= 0,975

p(A/A₁)= 0,99       p(A/A₂)= 0,5         p(A/A₃)=0,004

 

• a) a) Por el Teorema de la probabilidad total:

 

 

• b) b) Por el Teorema de Bayes:

 

37. Sean los sucesos:

 

A= "el artículo es defectuoso"

A₁= "el artículo procede de la 1ª fábrica"

A₂= "el artículo procede de la 2ª fábrica".

 

Sabemos que:

 

p(A₁)=